Matematyka wyjaśnia 433 szóstek w Totka jednego dnia. Oto, jak
Czy to możliwe, aby 433 osoby jednego dnia wygrały w "Totka"? Taka sytuacja zdarzyła się na Filipinach kilka lat temu. Fenomen tego nadzwyczajnego zdarzenia można było wyjaśnić za pomocą matematyki.
Czy podejrzany wynik wystarcza, by mówić o oszustwie?
1 października 2022 r. Dzień jak co dzień na Filipinach. Tylko, że nie. 433 osoby trafiły "szóstkę" w "Totka". To niesamowite, gdy weźmie się pod uwagę, że zwycięska kombinacja to 6 numerów w zakresie od 1 do 55. Były to 9, 18, 27, 36, 45 i 54. I właśnie ta sekwencja sama w sobie jest niezwykła, bo każda liczba jest wielokrotnością 9 (9x1, 9x2, 9x3, 9x4 i 9x5). Ten zbieg okoliczności ściągnął na siebie wiele podejrzeń – a o sytuacji donosiły media z całego świata.
Oczywiście, matematycznie taki rozkład numerów jest możliwy, ale... No właśnie, jaka jest na to szansa? Odpowiedź brzmi – ekstremalnie rzadka. Jedna na 29 milionów! Ale jest też mały twist – każda inna kombinacja ma w sumie taką samą szansę.
Aby zrozumieć w pełni, co tu się stało, trzeba użyć nieco bardziej zaawansowanej matematyki i posłużyć się prawdopodobieństwem bayesowskim. I właśnie tę metodę zastosował Terence Tao – renomowany matematyk i laureat Medalu Fieldsa, najbardziej prestiżowej nagrody w tej dziedzinie. W skrócie Bayes mówi: masz jakieś przypuszczenie, a pojawia się nowa informacja – zmieniasz ocenę tego przypuszczenia.
Cały świat chciał usłyszeć odpowiedź na pytanie – jakie są szanse, że takie numery zostaną wylosowane w "ustawionej" loterii. Niestety taką jednoznaczną odpowiedź trudno wystosować, bo jest to obszar, w którym ścierają się wyliczalne matematycznie dane z założeniami, które niekoniecznie mają podstawy w twardych metodach naukowych.
Generalnie jest to temat, gdzie do wyjaśnienia problemu trzeba zastosować kilka różnych hipotez jednocześnie – oprócz wspominanego prawdopodobieństwa bayesowskiego.
Aby ocenić, czy taki wynik mógł być efektem przypadku, czy też ewentualnej manipulacji, trzeba rozważyć co najmniej dwie konkurencyjne hipotezy. Pierwsza — tzw. hipoteza zerowa — zakłada, że losowanie było całkowicie uczciwe. Druga — hipoteza alternatywna — sugeruje, że mogło dojść do jakiejś formy ingerencji. Problem polega na tym, że "ingerencja" może oznaczać bardzo wiele rzeczy, od ustawienia wyników po awarię maszyny losującej.
W statystyce bayesowskiej zaczyna się od określenia, która z hipotez jest ogólnie bardziej prawdopodobna — czy zakładamy, że loterie zwykle są uczciwe, czy że częściej dochodzi do nadużyć. To zawsze jest element subiektywny. Następnie sprawdza się, jak nowe zdarzenie — w tym przypadku zestaw sześciu wielokrotności liczby 9 — zmienia te wstępne przekonania.
Jeśli przyjmiemy, że losowanie było uczciwe, prawdopodobieństwo takiego wyniku wynosi ok. 1 na 29 milionów. Ale pod hipotezą manipulacji… wcale nie musi być większe. Jeśli ktoś "ustawił" wyniki, ale zrobił to, wybierając liczby losowo wcześniej, to szansa na taki zestaw nadal wynosi 1 na 29 milionów. W takim scenariuszu podejrzany wynik nie zwiększa ani nie zmniejsza wiary w którąkolwiek z hipotez.
Można też założyć, że gdyby ktoś faktycznie manipulował losowaniem, unikałby tak rzucającego się w oczy wzoru jak 9, 18, 27, 36, 45, 54. Wtedy prawdopodobieństwo hipotezy alternatywnej wręcz spada.
Inna możliwość to awaria maszyny losującej, która generowałaby liczby o nietypowych wzorach. Ale i ta hipoteza szybko traci sens, bo już dwa dni później w kolejnym losowaniu pojawił się zestaw bez żadnego widocznego schematu. Po uwzględnieniu tego nowego zdarzenia prawdopodobieństwo awarii spada praktycznie do zera.
Tao podkreśla, że sensowna hipoteza alternatywna musi spełniać trzy warunki:
– musi być ogólnie wiarygodna,
– musi znacznie zwiększać szansę na zaobserwowane zdarzenie,
– i musi być zgodna z późniejszymi wynikami losowań.
Żadna z analizowanych możliwości nie spełnia tych kryteriów.
Na koniec pozostaje jeszcze pytanie: dlaczego aż 433 osoby wybrały dokładnie ten sam zestaw liczb? Jednym z wyjaśnień jest to, że ludzie często kierują się wzorami — a na filipińskich kuponach liczby 9, 18, 27, 36, 45 i 54 układają się w idealną przekątną. To mogło zachęcić wielu graczy do zaznaczenia właśnie tej sekwencji.
